浅谈策略梯度(PG)算法_红桃-红桃娱乐博客新闻站

摘要：PolicyOptimization（策略优化）是强化学习中的一大类算法，其基本思路区别于Value-based的算法。因此，很多教科书都将model-freeRL分成两大类，PolicyOptimization和Value-based。SpinningUp[1]是OpenAI发布的入门教程(这一

Policy Optimization（策略优化）是强化学习中的一大类算法，其基本思路区别于Value-based的算法。因此，很多教科书都将model-free RL分成两大类，Policy Optimization和Value-based。

Spinning Up ^[1]是OpenAI发布的入门教程(https://spinningup.openai.com/)，这一系列是入门Policy Optimization的非常好的教材，特别适合初学者。Policy Gradient（策略梯度，简称PG）算法是策略优化中的核心概念，本章我们就将从最简单的PG推导开始，一步步揭开策略优化算法的神秘面纱。

如果用一句话来表达策略梯度的直观解释，那就是“如果动作使得最终回报变大，那么增加这个动作出现的概率，反之，减少这个动作出现的概率”。这句话表达了两个含义：

我们考虑的是动作对于回报的影响，没有考虑状态或者其他因素。
我们调整的是动作出现的概率，而没有给某个动作打分，这区别于Value-based类的算法。

本节我们将一步步推导出策略梯度的基础公式，这一小节非常重要，理解了推导过程，就基本上理解了策略梯度的核心思想。所以，一定要耐心的把这一小节的内容全部看懂，最好能够达到自行推导的地步。

最大化回报函数

我们用参数化的神经网络表示我们的策略 $\\pi_\ heta$ ，那我们的目标，就可以表示为调整 $\ heta$ ，使得期望回报最大，用公式表示：

$J(\\pi_\ heta)=E\緻set{\\pi \\sim \ au}[R(\ au)]\ ag{1}$

在公式(1)中， $\ au$ 表示从开始到结束的一条完整路径。通常，对于最大化问题，我们可以使用梯度上升算法来找到最大值。

$\ heta^*=\ heta + \\alpha\ abla J(\\pi_\ heta) \ ag{2}$

为了能够一步步得到最优参数，我们需要得到 $\ abla_{\ heta}J\\left(\\pi_{\ heta}\\right)$ ，然后利用梯度上升算法即可，核心思想就是这么简单。

策略梯度

关键是求取最终的回报函数 $J(\\pi_\ heta)$ 关于 $\ heta$ 的梯度，这个就是策略梯度（policy gradient），通过优化策略梯度来求解RL问题的算法就叫做策略梯度算法，我们常见的PPO，TRPO都是属于策略梯度算法。下面我们的目标就是把公式（2）逐步展开，公式（2）中最核心的部分就是 $\ abla_{\ heta}J\\left(\\pi_{\ heta}\\right)$ ，这也是这篇博客最核心的地方。

$\\begin{align}\ abla_{\ heta}J\\left(\\pi_{\ heta}\\right) &=\ abla_{\ heta}\緻set{\ au \\sim \\pi_{\ heta}}{\\mathrm{E}}[R(\ au)]\ ag{3}\\\\ &=\ abla_{\ heta}\\int_{\ au}P(\ au \\mid \ heta) R(\ au) \\quad \ ag{4}\\\\ &=\\int_{\ au}\ abla_{\ heta}P(\ au \\mid \ heta) R(\ au) \\quad \ ag{5}\\\\ &=\\int_{\ au}P(\ au \\mid \ heta) \ abla_{\ heta}\\log P(\ au \\mid \ heta) R(\ au) \ ag{6}\\\\ &=\緻set{\ au \\sim \\pi_{\ heta}}{\\mathrm{E}}\\left[\ abla_{\ heta}\\log P(\ au \\mid \ heta) R(\ au)\\right]\ ag{7}\\end{align}$

在以上的推导中，用到了log求导技巧： $\\log x$ 关于 $x$ 的导数是 $\\frac{1}{x}$ 。因此，我们可以得到以下的公式：

$\ abla_{\ heta}P(\ au \\mid \ heta)=P(\ au \\mid \ heta) \ abla_{\ heta}\\log P(\ au \\mid \ heta) \ ag{8}$

所以，才有公式（5）到公式（6），接下来我们把公式（7）进一步展开，主要是把 $\ abla_{\ heta}\\log P(\ au \\mid \ heta)$ 展开。先来看看 $P(\ au \\mid \ heta)$

$P(\ au \\mid \ heta)=\\rho_{0}\\left(s_{0}\\right) \\prod_{t=0}^{T}P\\left(s_{t+1}\\mid s_{t}, a_{t}\\right) \\pi_{\ heta}\\left(a_{t}\\mid s_{t}\\right) \ ag{8-1}$

加入log，化乘法为加法：

$\\log P(\ au \\mid \ heta)=\\log \\rho_{0}\\left(s_{0}\\right)+\\sum_{t=0}^{T}\\left(\\log P\\left(s_{t+1}\\mid s_{t}, a_{t}\\right)+\\log \\pi_{\ heta}\\left(a_{t}\\mid s_{t}\\right)\\right) \ ag{8-2}$

计算log函数的梯度，并且约去一些常量：

$\\begin{align}\ abla_{\ heta}\\log P(\ au \\mid \ heta) &=\\cancel{\ abla_{\ heta}\\log \\rho_{0}\\left(s_{0}\\right)}+ \\sum_{t=0}^{T}\\left(\\cancel{\ abla_{\ heta}\\log P\\left(s_{t+1}\\mid s_{t}, a_{t}\\right)}+ \ abla_{\ heta}\\log \\pi_{\ heta}\\left(a_{t}\\mid s_{t}\\right)\\right) \\\\ &=\\sum_{t=0}^{T}\ abla_{\ heta}\\log \\pi_{\ heta}\\left(a_{t}\\mid s_{t}\\right) \ ag{9}\\end{align}$

因此，结合公式（7）和公式（9），我们得到了最终的表达式

$\ abla_{\ heta}J\\left(\\pi_{\ heta}\\right)=\緻set{\ au \\sim \\pi_{\ heta}}{\\mathrm{E}}\\left[\\sum_{t=0}^{T}\ abla_{\ heta}\\log \\pi_{\ heta}\\left(a_{t}\\mid s_{t}\\right) R(\ au)\\right]\\quad \ ag{10}$

公式（10）就是PG算法的核心表达式了，从这个公式中可以看出，我们要求取的策略梯度其实是一个期望，具体工程实现可以采用蒙特卡罗的思想来求取期望，也就是采样求均值来近似表示期望。我们收集一系列的 $\\mathcal{D}=\\left\\{\ au_{i}\\right\\}_{i=1, \\ldots, N}$ ,其中每一条轨迹都是由agent采用策略 $\\pi_{\ heta}$ 与环境交互采样得到的，那策略梯度可以表示为：

$\\hat{g}=\\frac{1}{|\\mathcal{D}|}\\sum_{\ au \\in \\mathcal{D}}\\sum_{t=0}^{T}\ abla_{\ heta}\\log \\pi_{\ heta}\\left(a_{t}\\mid s_{t}\\right) R(\ au) \ ag{11}$

其中， $|\\mathcal{D}|$ 表示采样的轨迹的数量。现在，我们完成了详细的策略梯度的推导过程，长舒一口气，接下来的工作就比较轻松了，就是在公式（10）的基础上修修改改了。

再进行简单修改之前，我们再总结一下公式（10），毕竟这个公式是PG算法最核心的公式：

对比我们常见的监督学习算法，我们都会定义loss函数，然后loss函数对参数求导，使用梯度下降算法不断使得loss最小。对于PG算法，我们的“loss函数”其实是期望回报的对数，而我们的目标是使得期望回报最大，所以这里使用了梯度上升算法。
一般的监督学习算法中，训练样本和测试样本的分布是同分布的，loss函数是从固定分布的样本上求出来的，与我们想要优化的参数是独立的。然而，对于PG算法，我们会有基于现有策略的采样的过程，策略不同，采样得到的样本不同，导致最终计算出来的loss也存在较大差异，这就使得网络很容易过拟合，后面我也会讲到更加高级的Actor-Critic框架，利用对抗的思路，解决这一问题。
对于一般的监督学习，loss越小越好，loss也是一个非常有效的评价训练是否完成的指标。然后对于PG算法，这里的“loss函数”意义不大，主要是因为这里的期望回报仅仅作用于当前策略生成的数据集。所以，并不是说loss降下来，模型就表现的更好。
我们可以将公式中的 $R(\ au)$ 看做是 $log\\pi_\ heta(a_t \\mid s_t)$ 的权重，当奖励较小时，就说明在 $s_t$ 下采取动作 $a_t$ 的效果不好，减少 $s_t$ 状态下 $a_t$ 出现的概率，反之，奖励较大则增加动作出现概率，从而达到选取最合适的动作的目的。

我们继续观察公式（10），对于公式中的 $R(\ au)$ ，表示整个轨迹的回报，其实并不合理。对于一条轨迹中的所有动作，均采用相同的回报，就相当于对于轨迹中的每一个动作都赋予相同的权重。显然，动作序列中的动作有好有坏，都采取相同的回报，无法达到奖惩的目的，那我们该怎么表示某个状态下，执行某个动作的回报呢？

一种比较直观思路是，当前的动作将会影响后续的状态，并且获得即时奖励（reward），那么我们只需要使用折扣累计回报来表示当前动作的回报就行了，用公式表示为：

$\\hat{R}_{t}\\doteq \\sum_{t^{\\prime}=t}^{T}R\\left(s_{t^{\\prime}}, a_{t^{\\prime}}, s_{t^{\\prime}+1}\\right) \ ag{12}$